Kongruenzen und Spektraltheorie der doppelten booleschen Algebren
Strukturen, die sich aus der Definition von Negationen auf Begriffen ergeben, haben im Vergleich zur klass. Aussagenlogik eine grössere Ausdruckskraft. Wie nah stehen diese Strukturen den booleschen Algebren?
Steckbrief
- Lead-Departement Wirtschaft
- Institut Institut Applied Data Science & Finance
- Forschungseinheit Applied Data Science
- Förderorganisation SNF
- Laufzeit (geplant) 01.08.2023 - 31.12.2023
- Projektverantwortung Prof. Dr. Léonard Kwuida
- Projektleitung Prof. Dr. Léonard Kwuida
- Schlüsselwörter Formaler Begriff, Negation, Proto-Begriff, Boolesche Algebra, Doppelte Boolesche Algebra, Vereinfachung und Zerlegung
Ausgangslage
Konzepte sind durch ihren Zweck (gemeinsame Eigenschaften) und ihren Umfang (zum Konzept gehörende Einheiten) klar definiert. Sie können mit den logischen Operatoren "und" (Konjunktion) und "oder" (Disjunktion) kombiniert werden. Um die Negation eines Konzepts zu definieren, müssen wir das Komplement der Absicht oder des Umfangs nehmen. Dies führt zu zwei Operationen, die "Negation" bzw. "Opposition" genannt werden. Die Negation eines Begriffs ist jedoch kein Begriff mehr, sondern ein sogenannter Proto-Begriff. Die erhaltene algebraische Struktur wird als Proto-Konzept-Algebra bezeichnet. Rudolf Wille fand die Menge der Gleichungen, die von allen Proto-Konzept-Algebren erfüllt werden, und erhielt die abstrakte Algebra, die als doppelte Boolesche Algebra bezeichnet wird, eine relativ neue Struktur, die unter mehreren Gesichtspunkten von Interesse ist: strukturelle und substrukturelle Eigenschaften sowie Dualitätsdarstellungstheorie.
Vorgehen
Kongruenzen sind Äquivalenzrelationen, die mit den Algebra-Operationen kompatibel sind, und ihr Hauptbestandteil für die Zerlegung von algebraischen Strukturen. Eine gute Beschreibung der Kongruenzen doppelter Boolescher Algebren wird daher einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis ihrer Strukturtheorie leisten und zur Charakterisierung direkt und subdirekt irreduzibler doppelter Boolescher Algebren eingesetzt werden. Filter und Ideale sind in der Regel eng mit Kongruenzklassen in vielen Algebren wie Booleschen Algebren oder Ringen verbunden und spielen eine Schlüsselrolle in der topologischen Darstellungstheorie oder natürlichen Dualitäten. In den Fällen der doppelten Booleschen Algebren gibt es viele Begriffe von Filtern und Idealen. Wir werden diese charakterisieren und die Topologien untersuchen, die sich aus diesen verschiedenen Filtern ergeben.
Ergebnisse
Charakterisierung von Kongruenzen doppelter Boolescher Algebren, einfache, direkt und subdirekt irreduzible doppelte Boolesche Algebren. Topologische Darstellung von doppelten Booleschen Algebren.
Ausblick
Dualitätstheorie
